Математический портал Дифференциал функции. Дифференциалы первого порядка.

Виды и их особенности дифференциалов

Видео: GPS Навигатор — описание и тест

Видов дифференциалов по месту установки – два:

1. Межколесный.
2. Межосевой.

Дифференциал заднеприводного автомобиля

Первый используется на всех легковых авто с одной ведущей осью, и в его задачу входит только выполнение своей функции. На заднеприводных авто он располагается в заднем мосту и устанавливается на редуктор. То есть редуктор передает вращение на полуоси не напрямую, а через дифференциал.

Дифференциал переднеприводного авто с приводным валом

Что касается переднеприводных авто, то из-за отсутствия карданной передачи и моста с редуктором, вращение от коробки передач передается напрямую на дифференциал (они размещены в одном корпусе), а от него уже оно поступает на приводные валы.

Межосевой дифференциал используется на полноприводных авто, у которых обе оси являются ведущими. Там он нужен для того, чтобы правильно распределять получаемое вращение по осям при движении по неровностям.  К примеру, авто движется на подъем, в результате чего задняя ось находится в низком положении относительно передней. В результате происходит перераспределение массы авто, она начинает больше давить на задок, и установленный узел в этом случае повышает крутящий момент на задних ведущих колесах. И все выполняется с точностью до наоборот на спусках.

При этом на полноприводных авто также требуется распределение вращения и на колесах, поэтому у них в общей сложности используется 3 дифференциала (1 – межосевой и 2 – межколесных).

Главная передача

Главная передача предназначена для увеличения крутящего момента, передаваемого к ведущим колесам. Устройство ее, на первый взгляд, весьма просто — две шестерни. Одна, размером поменьше, является ведущей, вторая, побольше — ведомой. Но от конструкции главной передачи во многом зависят тягово-скоростные характеристики автомобиля и расход топлива.

На заднеприводных автомобилях применяется гипоидная главная передача, так как крутящий момент нужно передать на ведущие колеса под углом 90 градусов. Почему применяется более сложная в изготовлении гипоидная передача, а не простая коническая? Да потому что у конической передачи ее простота является единственным преимуществом. А недостатков больше: шумность, низкая несущая способность, высокое расположение карданного вала (а, следовательно, и трансмиссионного туннеля в кузове автомобиля). В гипоидной передаче ось ведущей шестерни смещена относительно оси ведомой на величину гипоидного смещения. Поэтому карданный вал располагается ниже, что позволяет уменьшить высоту трансмиссионного туннеля. При этом снижается центр тяжести автомобиля, тем самым улучшая его устойчивость.

Зубья шестерен выполняются косыми или криволинейными. Благодаря тому, что в гипоидной передаче одновременно находится в зацеплении больше зубьев, чем в конической, обеспечивается ее плавная и бесшумная работа, повышается нагрузочная способность. Однако, из-за более плотного прилегания зубьев увеличивается опасность заклинивания, особенно при изменении направления вращения. Поэтому гипоидные передачи требуют высокой точности регулировки и применения специального трансмиссионного масла. В масла для гипоидных передач добавляются противоизносные и противозадирные присадки.

В переднеприводных автомобилях, где нет необходимости изменять направление передаваемого момента, в главной передаче применяются простые цилиндрические шестерни. Конструктивно главная передача устанавливается в общем картере с коробкой передач. Цилиндрические передачи просты в изготовлении, недороги, опасность задиров низка. Поэтому для их смазки в большинстве случаев применяется не специальное трансмиссионное масло, а моторное.

Как влияет передаточное число главной пары на тягово-динамические характеристики? Чем оно выше, тем быстрее происходит разгон, но максимальная скорость ниже. И, наоборот, с уменьшением передаточного числа автомобиль разгоняется медленнее, но достигает большей максимальной скорости. Значение передаточного числа для конкретной модели автомобиля подбирается с учетом характеристик двигателя, размера колес, возможностей тормозной системы.

Проходимость автомобилей. Часть 7

Page 7 9 >>

Полный привод легкового или грузового автомобиля не следует рассматривать как примитивное средство для повышения проходимости.

Если рассматривать упрощённо, то можно вести речь об автомобиле, ведущий мост которого застрял в грязи и автомобиль буксует, а второй мост стоит на сухом покрытии. Подключение этого второго моста позволяет автомобилю самостоятельно из такой грязи выбраться.

Однако повышение проходимости не всегда сводится к такому простому примеру. Гораздо важнее распределение тяги между колёсами. Речь идёт о движении по скользкому покрытию «в натяг» т.е. на грани пробуксовки или с очень небольшой пробуксовкой. Если у автомобиля полный привод, т.е. привод на все колёса и все колёса являются ведущими, в этом случае тяговые усилия распределяются между всеми колесами, и автомобиль получает возможность двигаться и управляться.

Сказанное хорошо отражает следующий пример. Автомобиль двигается на некрутой подъём по скользкой дороге. Как обычно вариантов прохождения подобного препятствия несколько. Если подъём не очень длинный, то его можно штурмовать с разгона (с хода) и использовать силу инерции. Длинный подъём с хода преодолеть не удастся, и на автомобиле не оборудованным приводом на все колёса ведущая ось может начать буксовать. Чаще всего это происходит в тот момент, когда инерция заканчивается. В этот момент из-за недостаточного сцепления (сила тяги превышает силу сцепления) ведущий мост начинает буксовать. В той же ситуации, но когда все колёса являются ведущими (автомобиль имеет полный привод) и сила тяги распределяется между всеми колёсами, результирующая сила тяги не превышает силу сцепления и автомобиль спокойно, не буксуя, преодолевает этот подъём.

Аналогично происходит разгон на скользком покрытии, где автомобили с полным приводом являются безусловными фаворитами. Более того, у автомобилей с полным приводом торможение двигателем на скользком покрытии также происходит более эффективно. Именно поэтому мировые лидеры автомобильной промышленности и именитые бренды выпускают целые семейства автомобилей с постоянным полным приводом и с постоянным симметричным полным приводом.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов.

 Функция
F (x) называется первообразной
для функции f (x) на интервале (a,b),
если она дифференцируема на этом
интервале и в каждой его точке

F’(x)=f(x)

Множество
всех первообразных некоторой
функции f(x) называется неопределенным
интегралом функции
f(x) и
обозначается как

Функция
f(x)
называется подынтегральной функцией
,f(x)dx-
подынтегральным выражением

Если
F(x)-
какая-нибудь первообразная функции
f(x),то

где
С — произвольная постоянная. 

Свойства
неопр интеграла :

.
Дифференциал от неопределенного
интеграла равен
подынтегральному выражению

Производная
от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции

Неопределенный
интеграл от дифференциала некоторой
функции равен этой функции плюс
произвольная постоянная

Постоянный
множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла или вносить
под знак интеграла

Неопределенный
интеграл от суммы/разности двух и больше
функций равен сумме/разности неопределенных
интегралов от этих функций

Управление блокировкой

Блокировка может устанавливаться на любой автомобильный дифференциал, как межколесный, так и межосевой. При этом в полноприводных авто передний межколесный дифференциал обычно не оснащают блокировкой, чтобы не оказывать влияние на управляемость авто. Задействование же блокировки, если она имеется, может осуществляться в ручном и автоматическом режиме.

Ручное включение подразумевает принудительное блокирование дифференциала, то есть оно задействуется только когда нужно. При этом водитель задействует привод, в результате чего происходит жесткое соединение составных элементов дифференциала между собой.

Привод блокировки может быть:

• механический;
• гидравлический;
• пневматический;
• электромеханический;

Основной недостаток ручного управления крыт в надобности соблюдения условий эксплуатации. Так, заблокированный дифференциал может повредить трансмиссию в случае, когда оба колеса окажутся на дороге с хорошими сцепными свойствами. Такое может произойти, к примеру, когда водитель забыл разблокировать дифференциал в авто после преодоления бездорожья.

Для чего нужен дифференциал

Схема полноприводного авто с раздаткой и межосевым дифференциалом.

При прямолинейном передвижении дифференциал, в принципе и не нужен, поскольку ведущие колеса крутятся с одной скоростью. Но ведь часто возникает надобность проходить и повороты. При этом колеса идут по различным радиусам, то есть пройденное расстояние при повороте у колес одной оси отличаются. Движущееся по внутреннему радиусу колесо проходит значительно меньший путь, чем идущее по внешнему.

Если при этом обеспечить равную передачу вращения на каждое из колес, то одно из них начнет пробуксовывать, при этом и возникает большая нагрузка на элементы трансмиссии. В результате происходит повышенный износ шин и высока вероятность повреждения приводных элементов.

Чтобы этого не произошло, требуется перераспределение вращения на колеса в соответствии с условиями движения. Другими словами нужно, чтобы при прохождении поворота  движущееся по внутреннему радиусу колесо – замедлилось, а идущее по внешнему – ускорилось. Именно это и обеспечивает добавленный в конструкцию трансмиссии авто дифференциал.

Конструкция, принцип работы дифференциала

Дифференциалы, используемые на авто, делаются на основе обычного редуктора планетарного типа. Основными его составными компонентами являются:

• корпус, он же — чашка (выполняет роль ведущего элемента);
• сателлиты;
• ведомые шестеренки;

Видео: Как работает дифференциал / How Differential Steering Works (на русском)

https://youtube.com/watch?v=qbcwdSSq5h4

Эта конструкция может использовать разные виды зубчатых передач:

1. Цилиндрические.
2. Конические.
3. Червячные;

Видео: Дифференциал, обзор конструкции, принцип действия

Редуктор состоит из двух шестерён (малой ведущей и большой ведомой). Часто ведомую из-за ее размера называют еще зубчатым колесом. Вот к ней и крепиться чашка при помощи болтового соединения.  Внутри чашки сделаны оси для крепления сателлитов. Количество их может варьироваться в зависимости от значения крутящего момента. На легковых авто, где усилия не особо высокие, устанавливается по два сателлита, на внедорожниках же их количество может составлять 4 штуки.

Сателлиты находятся в постоянном зацеплении с правой и левой ведомыми шестернями (вторые получаются зажатыми между первыми). Ведомые шестеренки закрепляются посредством шлицевого соединения на полуосях (в переднеприводных авто они соединены с приводными валами).

Количество зубьев на ведомых шестернях может быть как одинаковым (симметричный дифференциал), так и разным (ассиметричный). Первый тип обеспечивает распределение вращения по полуосям (приводным валам) в равном соотношении, а у второго это выполняется в строго определенных значениях.

Из-за этих особенностей симметричный тип используется в качестве межколесного, а ассиметричный – межосевого дифференциалов.

Работает планетарный узел так: во время прямолинейного движения оба колеса ведущей оси получают одинаковое сопротивление от дорожного полотна. Вращение, получаемое от коробки передач передается на ведомое зубчатое колесо редуктора, а вместе с ним и крутиться чашка дифференциала с размещенными в ней сателлитными осями. Поскольку сопротивление одинаково, то сателлиты осуществляют передачу крутящего момента на ведомые шестеренки в одинаковых соотношениях, то есть скорость вращения их, а вместе с ними и полуосей, равна. При этом сателлиты лишь передают вращение, сами же они остаются неподвижными относительно своих осей.

При вхождении в поворот, колеса начинают двигаться по разным радиусам. При этом, идущее по внутреннему радиусу получает большее сопротивление, чем внешнее. Это сопротивление обеспечивает замедление вращения ведомой шестеренки, из-за чего сателлиты начинают крутиться на осях. В результате начала движения сателлитов, скорость вращения полуоси наружного колеса возрастает, то есть происходит изменение угловых скоростей полуосей (приводных валов). Примечательно, что общая скорость вращения обеих полуосей соответствует скорости вращение зубчатого колеса редуктора, но увеличенной вдвое. При этом крутящий момент от разницы угловых скоростей не меняется, и он разделяется на ведущие колеса равномерно.

В результате такой работы узла при прохождении поворотов удается избежать появления пробуксовки и увеличения нагрузки на элементы трансмиссии.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл.

Разность
F(b)-F(a) или значение приращения любой
первообразной от данной функции f(x)
при изменении аргумента от x=a
до x=b
называется определенным интегралом
функции f(x)
в пределах от а до b
:

_a
∫bf(x)dx
=F(b)-F(a)

это
формула Ньютона-Лейбница

Свойства определенного интеграла.
1.
Определенный интеграл с равными пределами
равен нулю:
_b∫af(x)
dx=
0
2. При
перемене местами пределов интегрирования
величина определенного интеграла
изменяется на противоположную:
_a∫bf(x)
dx=
— _b∫af(x)dx
3.
Если отрезок интегрирования
разделен на конечное число nчастичных
отрезков [a,x₁],
[x₁,x₂],…..,[x_n-1,b],
то определенный интеграл от функции
f(x)
на отрезке равен
сумме определенных интегралов от этой
функции на каждом из частичных отрезков
(свойств аддитивности):
_a∫bf(x)
dx=
_a
∫x1
f(x)
dx
+ _x1∫x2+
……._xn-1∫bf(x)
dx

4.
_a∫bkf
(x)dx
= k_a∫bf(x)
dx
,
где k-
постоянный множитель

5. Определенный
интеграл от алгебраической суммы
конечного числа функций, интегрируемых
на отрезке ,
равен алгебраической сумме определенных
интегралов этих функций на данном
отрезке :
_a∫b[f₁(x)+f₂(x)+….+f_n(x)]dx
=_a∫bf₁(x)dx+_a∫bf₂(x)dx
+….._a∫bf_n(x)dx

Геометрический
смысл определенного интеграла.
Плоская
фигура, ограниченная сверху графиком
непрерывной функции y=f(x),
снизу –осью абцисс,
слева-прямой
линиейx=a,
а справа – прямой линией x=b,
называется криволинейной
трапецией.
Площадь криволинейной
трапеции, ограниченной графиком функции
y=f(x),
осенью абцисс
и прямыми линиями x=a
и x=b,численно
равна определенному интегралу от этой
функции на отрезке.
В этом и заключается геометрическая
интерпретация .

6.Понятие
дифференциального уравнения. Порядок
уравнения, общее и частное решение
дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными,
алгоритм их решения.

Понятие
дифференциального уравнения.
Уравнение,
в общем случае связывающее искомую
функцию y=f(x),
ее аргумент x,
а также производные различных порядков
этой функции , называется обыкновенным
дифференциальным
уравнением.
F(
x,
y,
y’,
y»,……,y(n))=0

Порядок уравнения, общее и частное
решение дифференциального уравнения.
Порядком
дифференциального
уравнения называется
порядок наивысшей производной, входящей
в это уравнение.

Общий
вид дифференциального уравнения первого
порядка : F(x,y,
y‘)=0
Общим
решениемдифференциального
уравнения называется функция ,
удовлетворяющая двум условиям: во-первых,
эта функция должна удовлетворять данному
дифференциальному уравнению, т.е. при
подстановке в уравнение должна обращать
его в тождество; во-вторых, количество
произвольных постоянных в этой функции
должно быть равным порядку данного
уравнения.

Общее
решения дифференциального уравнения
n-го
порядка имеет вид : y=F(x,C1,C2,…,Cn)

Общее
решение дифференциального уравнения
1_ого порядка имеет вид : y=F(x,С)

В
отличие от общего решения дифференциального
уравнения его частным
решениемназывают
всякую функцию, удовлетворяющую данному
уравнению, но не содержащую произвольных
постоянных.

Дифференциальные
уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными, алгоритм их решения.

Уравнение
с разделяющимися переменными имеет вид
___________________ ,причем его правая часть
может быть представлена в виде
произведения двух отдельных функций
:_______________________________________________________________
.Тогда:

Можно
преобразовать это уравнение ,разделив
переменные справа и слева ;

Общий
вид уравнения с разделенными переменными
:

Уравнение
решается непосредственным интегрированием
:слева по переменной yи справа по
переменной х
с
прибавлением постоянной С .

Решая
это уравнение найдем ответ :

LSD дифференциал что это такое и откуда пошло

Аббревиатура «LSD» пошла с английского языка. Она расшифровывается как «Limited Slip Differential, что на наш язык переводится как «дифференциал с повышенным внутренним сопротивлением». Как уже было сказано выше, дифференциал повышенного трения LSD не обеспечивает полной блокировки, допуская определенную разницу между скоростями вращения валов. Он срабатывает лишь в том случае, когда разница ощутима, когда достигается определенная диспропорция между валами. О видах полной блокировки можно почитать в статье о дифференциалах в целом. Выше уже было сказано, что LSD часто ставят в различные автомобили: как в спортивные, так и во внедорожники. Например, в моём Nissan Terrano 1 поколения в кузове WD 21 установлен именно такой LSD.

Обыкновенный LSD дифференциал

В пример еще можно привести LSD дифференциал Toyota — в определенный момент блокировка срабатывает и крутящий момент обеих валов сравнивается, становится одинаковым. Равные пропорции всё равно дают возможность завязшему колесу прокручиваться, но то колесо, которое имеет хорошее сцепление, тоже начинает крутиться и джип выезжает с засады на нормальное место (во многих, но далеко не во всех случаях).

Межосевой дифференциал

Блокировать межосевой дифференциал следует только на грязных и скользких дорогах.
 

Применение межосевого дифференциала уменьшает износ и повышает долговечность механизмов трансмиссии и шин, однако при буксовании колес одной из осей он может ухудшить проходимость автомобиля. Чтобы избежать этого, на автомобилях КрАЗ применяется механизм блокировки межосевого дифференциала в виде зубчатой муфты 13, соединение которой с внутренними зубьями шестерни 7, исключает возможность поворачивания шестерен сателлитов на своих осях, а следовательно, приводит к выключению дифференциала.
 

Применение межосевого дифференциала позволяет снизить, а в случае применения дифференциала с малым внутренним трением практически устранить вредное влияние циркулирующей мощности в трансмиссии. При этом исключается перегрузка элементов трансмиссии многоосных автомобилей.
 

Схема несимметричного межосевого дифференциала из цилиндрических шестерен для привода на 4 колеса.
 

Конструкция несимметричного межосевого дифференциала с цилиндрическими сателлитами, распределяющего момент на передний и задний мосты трехосного автомобиля ( Урал-375), представлена на рис. VI. Момент от промежуточного вала 12 раздаточной коробки передается на шестерню 5, приболченную к корпусу 6 межосевого дифференциала. Шестерня 7 передает через вал 8 момент на передний мост, а шестерня 3 с внутренним зацеплением, жестко посаженная на вал 4 — на задние мосты.
 

Наоборот, межосевой дифференциал, включенный между ведущими мостами, располо-на значительном расстоянии друг от друга ( например, передним и задним) весьма целесообразен, так как при этом снижаются нагрузки в трансмиссии особенно на поворотах.
 

Целесообразность применения межосевых дифференциалов в автомобилях с приводом на несколько осей в настоящее время еще не совсем ясна. Для каждой оси применяется свой дифференциал. Конструкция, при которой мосты соединены через дифференциал, распределяющий крутящий момент, согласно нагрузке на ось, встречается очень редко.
 

Механизм блокировки межосевого дифференциала должен быть собран и установлен на картер межосевого дифференциала. Винт установочной вилки и контргайка винта должны быть завернуты через отверстие под заливную пробку картера межосевого дифференциала. При подаче воздуха под давлением 2 кгс / см2 в камеру механизма блокировки межосевого дифференциала вилка муфты включения блокировки должна переместиться в крайнее положение до упора в картер межосевого дифференциала. При выпуске воздуха из камеры вилка муфты должна возвращаться до упора1 в корпус механизма блокировки.
 

Сателлиты 5 межосевого дифференциала находятся в зацеплении с шестерней 3, сидящей на шлицах ведущей шестерни 2 главной передачи, и шестерней 6, которая проходным валом 1 передает крутящий момент к заднему ведущему мосту.
 

При наличии межосевого дифференциала выходные валы могут вращаться с неодинаковой угловой скоростью. Распределение крутящих моментов между валами привода переднего и заднего мостов определяется внутренним передаточным числом дифференциала ( см. гл.
 

В отличие от межосевого дифференциала КрАЗ, имеющего конические сателлиты, дифференциал Урал — 375Д имеет четыре сателлита 1, находящихся в зацеплении с солнечной бис коронной 4 шестернями.
 

Раздаточные коробки с межосевым дифференциалом — трех-вальные. Крутящий момент в них с ведущего вала 2 через одну зубчатую пару передается на промежуточный вал 6 и затем дифференциалом 7 перераспределяется между ведомыми валами 9 и 8 в требуемом соотношении.
 

Для повышения проходимости автомобилей межосевые дифференциалы иногда выполняют с принудительной блокировкой или самоблокирующимися.
 

Коробка перемены передач имеет межосевой дифференциал и механизм блокировки. Межосевой дифференциал распределяет крутящий момент между мостами позволяет передним и задним колесам вращаться с разными числами оборотов, уменьшает нагрузки а износ деталей. Механизм блокировки дифференциала повышает общую силу тяги на плохих дорогах и улучшает проходимость краня.
 

3 Свойства дифференцируемых функций

4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей

Теорема. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то эта функция непрерывна в точке $x_0$.

Доказательство.

Замечание. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Т.о., дифференцируемость «более сильное» свойство, чем непрерывность.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$. Говорят, что функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум, если для некоторой окрестности этой точки $U$ справедливо: $f(x) \leq f(x_0)$ при всех $x \in U$. Аналогичным образом определяется локальный минимум.

Теорема Ферма. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$, причем $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Если $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум (или локальный минимум), то $f'(x_0)=0$.

Доказательство.

Теорема Ферма является необходимым условием наличия в точке $x_0$ локального максимума или локального минимума функции $f(x)$ — этим условием является равенство $f'(x_0)=0$. Для вывода достаточного условия нам потребуется несколько более продвинутая техника, оно обсуждается ниже. В связи с этими условиями возникает следующее определение.

Определение.Стационарной точкой (или: экстремальной точкой) функции $f(x)$ называется такая точка $x_0$, которая удовлетворяет условию $f'(x_0)=0$.

Теорема Ролля. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям.

1. Она непрерывна на интервале $\left $.

2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.

3. $f(a)=f(b)$.

Тогда на интервале $\left $ найдется точка $c$ такая, что $f'(c)=0$.

Доказательство.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Ролля.

Рис 4: К геометрическому смыслу теоремы Ролля

На рисунке 4 изображена функция, принимающая равные значения на концах. В соответствии с заключением теоремы, существует точка $c$, в которой касательная к графику функции параллельна оси $x$ (т.е. $f'(c)=0$).

Теорема Лагранжа. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям.

1. Она непрерывна на интервале $\left $.

2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.

Тогда на интервале $\left $ найдется точка $c$ такая, что
\begin{equation}
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. (11)
\label{Lagr}
\end{equation}

Доказательство.

Формула (11) называется формулой конечных приращений. Ее можно переписать в виде:
\
где, напомним, $c \in (a,b)$.

Рис 5:К геометрическому смыслу теоремы Лагранжа

В таком виде она часто используется в том случае, когда требуется вычислить (или оценить) величину $f(b)-f(a)$.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа, см. рис. 5. Значение $f'(c)$ фиксирует угол наклона касательной к графику в точке $c$, выражение $(f(b)-f(a))/(b-a) $ задает угол наклона хорды, соединяющей концы кривой. Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что между $a$ и $b$ найдется такая точка $c$, что каcательная к графику в этой точке параллельна хорде, соединяющей концы кривой.

Теорема Коши. Пусть функции $f(x),g(x)$ удовлетворяют следующим условиям.

1. Они непрерывны на интервале $\left $.

2. Они дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g(a) \neq g(b)$.

Тогда на интервале $\left $ найдется точка $c$ такая, что
\

Доказательство.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши в том случае, когда $g(x)=x$.

4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента x и при произвольном его приращении Delta xdx

5.285. $x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}-5.$

Решение.

Пусть $y(x)=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}-5.$ Тогда $dy=y'(x)dx.$

Найдем $y'(x):$

$y'(x)=(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}-5)’=$ $=x’\sqrt{a^2-x^2}+x(\sqrt{a^2-x^2})’+a^2(\arcsin\frac{x}{a})’=$ $=\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x}{2\sqrt{a^2-x^2}}(a^2-x^2)’+\frac{a^2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\left(\frac{x}{a}\right)’=$ $=\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x(-2x)}{2\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\left(\frac{1}{a}\right)=$ $=\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{\frac{1}{a}\sqrt{a^2-x^2}}\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{a^2-x^2-x^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=2\sqrt{a^2-x^2}.$

Таким образом, $dy=2\sqrt{a^2-x^2}dx.$

Ответ: $dy=2\sqrt{a^2-x^2}dx.$

  {jumi}

 5.286. $\sin x-x\cos x+4.$

Решение.

Пусть $y(x)=\sin x-x\cos x+4.$

Тогда $dy=y'(x)dx.$

Найдем $y'(x):$

$y'(x)=(\sin x-x\cos x+4)’=\cos x-x’\cos x-x(\cos x)’+4’=$ $=\cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x.$

Таким образом, $dy=x\sin xdx.$

Ответ: $dy=x\sin xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.290. $y^5+y-x^2=1.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества 

$y^5(x)+y(x)-x^2=1$

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(y^5+y-x^2)=d(y^5)+dy-d(x^2)=5y^4dy+dy-2xdx=$ $=-2xdx+(5y^4+1)dy;$

$d(1)=0.$

Приравнивая полученные выражения, получаем $-2xdx+(5y^4+1)dy=0.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

$dy=\frac{2x}{5y^4+1}dx.$

Ответ: $dy=\frac{2x}{5y^4+1}dx.$

5.293. $e^y=x+y.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества 

$e^y(x)=x+y(x).$

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(e^y)=e^ydy;$

$d(x+y)=dx+dy.$

Приравнивая полученные выражения, получаем $e^ydy=dx+dy.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

$(e^y-1)dy=dx\Rightarrow dy=\frac{1}{e^y-1}dx$

Ответ: $ dy=\frac{1}{e^y-1}dx$

5. 297. $\cos (xy)=x.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества 

$\cos (xy(x))=x.$

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(\cos (xy))=-\sin (xy)d(xy)=-\sin (xy)(ydx+xdy)=-y\sin (xy)dx-x\sin (xy)dy;$

$d(x)=dx.$

Приравнивая полученные выражения, получаем $-y\sin (xy)dx-x\sin (xy)dy=dx.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

$x\sin (xy)dy=-(1+y\sin (xy))dx\Rightarrow dy=-\frac{1+y\sin (xy)}{x\sin (xy)}dx$

Ответ: $dy=-\frac{1+y\sin (xy)}{x\sin (xy)}dx$

Домашнее задание.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $\Delta x=dx:$

5.287. $x arctg x-\ln\sqrt{1+x^2}.$

Ответ: $arctg xdx.$

5.288. $x\ln x-x+1.$

Ответ: $ln xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.291. $x^4+y^4=x^2y^2.$

Ответ: $\frac{x(y^2-2x^2)}{y(2y^2-x^2)}dx.$

5.294. $y=x+arctg y.$

Ответ: $\frac{y^2-1}{y^2}dx.$

5.295. $y=\cos (x+y).$

Ответ: $\frac{\sin(x+y)}{1+\sin(x+y)}dx.$

5.296. $arctg\frac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}.$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}dx.$

Виды самоблокирующихся дифференциалов

Дифференциалы, у которых блокирование происходит в автоматическом режиме, называются самоблокирующимися. В них, при определенных условиях происходит самостоятельная блокировка, без какого-либо участия водителя. Точно также он и разблокируется.

Видео: Кардан Главная передача Дифференциал

Самый простой самоблокирующийся дифференциал – дисковый, имеющий в своей конструкции дополнительный элемент – пакет фрикционных дисков, одна часть которого жестко соединена с чашкой дифференциала, а вторая – с одной из осей. При этом диски прижаты друг к другу.

Действует такая блокировка очень просто: при прямолинейном движении машины чашка и полуось вращаются с одной скоростью, а вместе с ними и фрикционный пакет.

В случае повышения угловой скорости на одной из полуосей, она начинает вращаться быстрее чашки. При этом одна часть фрикционного пакета (закрепленная на оси) ускоряется относительно второй. А поскольку они прижаты, то между ними возникает сила трения, которая и препятствует повышению угловой скорости, соответственно крутящий момент на колесе с большим сопротивлением повышается.

Вискомуфта в качестве межосевого дифференциала

Примерно так же действует и вязкостная муфта, она же вискомуфта, которая сейчас является достаточно распространенным способом заблокировать дифференциал в автоматическом режиме. Но из-за больших габаритных размеров ее в качестве межколесной блокировки не используют. Муфта устанавливается только на межосном дифференциале, как вспомогательное устройство, а в некоторых случаях она полностью его заменяет.

Конструкция этой муфты такая: имеется герметичный корпус, с помещенным в нее пакетом дисков, одна половина которого жестко связана с ведущим валом (от которого подается вращения) а вторая – с ведомым.

Вискомуфта в разобраном состоянии

Все пространство между дисками заполнено дилатантной жидкостью, особенность которой заключается в повышаемой вязкости при перемешивании.

Действует вискомуфта примерно также же, как и дисковая блокировка. Пока валы вращаются с одной скоростью, перемешивание жидкости, расположенной между дисками, не происходит. Но как только появляется разница в скоростях вращения, диски начинают мешать жидкость из-за чего она становиться более вязкой. В результате повышения вязкости жидкости, которая при большой разнице скоростей может стать практически твердой, выравнивается угловая скорость на валах.

Существует также электронная блокировка дифференциала, которая используется на межколесном дифференциале автомобиля. Причем в качестве основного рабочего элемента в ней выступает антиблокировочная система тормозов.

Такая блокировка имеет свое обозначение – противопробуксовочная система, суть работы которой сводится к тому, что в случае увеличения угловой скорости на одном ведущем колесе, тормозная система притормаживает его, тем самым повышая крутящий момент на другом колесе.